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14．A 、 B 两人在玩掷硬币游戏，每个人都抛掷 10 次硬币，最后谁抛出的正面更多，谁就获胜。几轮游戏下来后， A 都获胜了， B 有些沮丧。 A 说：“要不这样吧，我们把游戏规则改一下。我允许你多抛掷一次硬币。也就是说，我仍然抛掷 10 次硬币，你却能抛掷 11 次硬币。但是，只有你抛掷出的正面次数严格大于我抛掷出的正面次数，才算你获胜；如果我们抛掷出的正面次数相同，那也算我获胜。”新的一轮游戏开始了，按照约定， A 抛掷了 10 次硬币， B 抛掷了 11 次硬币。理论上，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．A 获得游戏的胜利
B．B 获得游戏的胜利
C．上述两种情况的...
14．A 、 B 两人在玩掷硬币游戏，每个人都抛掷 10 次硬币，最后谁抛出的正面更多，谁就获胜。几轮游戏下来后， A 都获胜了， B 有些沮丧。 A 说：“要不这样吧，我们把游戏规则改一下。我允许你多抛掷一次硬币。也就是说，我仍然抛掷 10 次硬币，你却能抛掷 11 次硬币。但是，只有你抛掷出的正面次数严格大于我抛掷出的正面次数，才算你获胜；如果我们抛掷出的正面次数相同，那也算我获胜。”新的一轮游戏开始了，按照约定， A 抛掷了 10 次硬币， B 抛掷了 11 次硬币。理论上，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．A 获得游戏的胜利
B．B 获得游戏的胜利
C．上述两种情况的出现概率相同
题目的答案是 C 。这是一个非常经典的问题，解决它的方法也有很多。我们介绍两种方法。
第一种方法如下。在新版游戏中，假设两人各自都已经抛掷了 10 次硬币，只待 B 抛掷最后一次了。此时，如果 B 的正面更多，那他就胜定了，游戏可以提前结束了。如果 B 的正面更少，那他就输定了，游戏也可以提前结束了。显然，这两种情况出现的概率相同。现在，只剩一种情况有待分析，即此时 B 的正面数量与 A 相同。那么，游戏结果将完全取决于 B 的最后一次抛掷：如果 B 抛掷出正面，胜；如果 B 抛掷出反面，败。而这两种情况出现的概率也是相同的。综上所述，新的游戏是公平的。
第二种方法如下。既然 B 比 A 多抛掷一次，那这就说明， B 的正面和反面不可能都没 A 多（否则 B 的硬币总数不可能比 A 多）。另外，由于 B 只比 A 多抛掷一次，那这就说明， B 的正面和反面不可能都比 A 多（否则 B 的硬币总数至少比 A 大 2 ）。综上所述，要么 B 的正面比 A 更多，要么 B 的反面比 A 更多。由于硬币本身是公正的，因此这两种情况出现的几率相等，它们各为 1/2 。但是， B 的正面比 A 更多就意味着 B 获胜了， B 的反面比 A 更多就意味着 B 的正面数量不比 A 多，即 A 获胜了（别忘了，平局算 A 获胜）。所以，两人各自获胜的概率都是 1/2 。
26 13
13．同时抛掷 10 枚硬币，出现下面哪种情况的可能性更大一些？
A．正面朝上的硬币数量为偶数
B．正面朝上的硬币数量为奇数
C．上述两种情况的出现概率相同
答案是 C 。事实上，把 10 换成任意正整数，这个问题的答案都不会变——正面朝上的硬币个数是奇是偶的概率一样大。
让我们把这个问题先修改一下：同时抛掷 5 枚硬币，正面朝上的硬币数量为偶数的概率大，还是为奇数的概率大？有趣的是，新的问题突然有了一种非常简单的解法。我们可以把同时抛掷 5 枚硬币的结果分成六大类： 0 个正面 5 个反面、 1 个正面 4 个反面、 2 个正面 3 个反面、 3 个正面 2 个反面、 4 个正...
13．同时抛掷 10 枚硬币，出现下面哪种情况的可能性更大一些？
A．正面朝上的硬币数量为偶数
B．正面朝上的硬币数量为奇数
C．上述两种情况的出现概率相同
答案是 C 。事实上，把 10 换成任意正整数，这个问题的答案都不会变——正面朝上的硬币个数是奇是偶的概率一样大。
让我们把这个问题先修改一下：同时抛掷 5 枚硬币，正面朝上的硬币数量为偶数的概率大，还是为奇数的概率大？有趣的是，新的问题突然有了一种非常简单的解法。我们可以把同时抛掷 5 枚硬币的结果分成六大类： 0 个正面 5 个反面、 1 个正面 4 个反面、 2 个正面 3 个反面、 3 个正面 2 个反面、 4 个正面 1 个反面、 5 个正面 0 个反面。我们把这六类情况分成三组：
0 正 5 反， 5 正 0 反
2 正 3 反， 3 正 2 反
4 正 1 反， 1 正 4 反
注意到，每一组里的前后两类情况出现的概率总是相同的，然而前面那类总是属于有偶数个正面的情况，后面那类总是属于有奇数个正面的情况。因而总的来说，有偶数个正面的情况和有奇数个正面的情况将会概率均等地出现。
回到原问题。如果是 10 枚硬币的话，又该怎么办呢？大家或许想要故技重施，但却发现这回不管用了。虽然 0 正 10 反和 10 正 0 反出现的概率仍然相等，但它们都是有偶数个正面的情况，这样就没法推出奇偶两种情况各占一半的结论了。不过，我们另有奇招。把这 10 枚硬币分成两组，每一组各有 5 枚硬币。根据刚才的结论，每组硬币里面出现偶数个正面和出现奇数个正面的概率是相同的，因而，同时抛掷这两组硬币后，检查两组硬币正面朝上的数量分别有多少，会产生“偶偶”、“偶奇”、“奇偶”、“奇奇”这四种等概率的组合。在第一种情况和最后一种情况中，最终正面朝上的硬币数量为偶数；在第二种情况和第三种情况中，最终正面朝上的硬币数量为奇数。可以看到，正面朝上的硬币数量是奇是偶的概率相等。
我们还有另一种更简单的方法来说明，同时抛掷 10 枚硬币后，正面朝上的硬币数量是奇是偶的概率的确相同。假设你已经抛掷了 9 枚硬币，正准备抛掷最后一枚硬币。不管前 9 枚硬币抛掷成啥样，最后这枚硬币的正反都将会起到决定性的作用，具体情况分为两种，视前 9 枚硬币的抛掷结果而定：
如果最后一枚硬币是正面，总的正面个数就是偶数；如果最后一枚硬币是反面，总的正面个数就是奇数；
如果最后一枚硬币是正面，总的正面个数就是奇数；如果最后一枚硬币是反面，总的正面个数就是偶数。
容易看出，不管是上述两种情况中的哪种情况，总的正面个数是奇是偶的概率都是相等的。因此，即使上述两种情况出现的概率不相等（当然，事实上是相等的），最终总的正面个数是奇是偶的概率也是相等的。