LOFTER for ipad —— 让兴趣,更有趣

点击下载 关闭

平方根

562浏览    13参与
杰哥o聊教育
3秒算出任意数平方根,初中上学期
3秒算出任意数平方根,初中上学期
杰哥o聊教育
初中数学考试必考题,算术平方根,巧解方式
初中数学考试必考题,算术平方根,巧解方式
杰哥o聊教育
初一上学期平方根计算,先写个解字,必拿1分
初一上学期平方根计算,先写个解字,必拿1分
孙老师教育
认识算术平方根定义,表示法,会计算,陆续更新到九年级
认识算术平方根定义,表示法,会计算,陆续更新到九年级
绘时光
平方根和算术平方根的区别
平方根和算术平方根的区别
ID507306952

用有理数逼近平方根

尝试用有理数逼近平方根,且这个方法同样适用于比较精确地笔算平方根

原理:完全平方公式 A=(√A)^2=(x+m)^2=x^2+2mx+m^2

其中A是被开方数,x是我们的估测值,m是误差。

当m很小的时候,可以认为m^2→0,此时m=(A-x^2)/2x

故更加精确的数值x'=x+m=x+(A-x^2)/2x=(A/x+x)/2 即为该方法的原理。

可以证明,在保留一定位数小数的情况下,这种方法获得的数字的稳定值永远大于或等于准确值,但是仍然是相当精确的值。

利用上述公式多次循环可以得到相当准确的值。

这里用Flash AS3写了一个小程序 可以用来模拟该过程...

尝试用有理数逼近平方根,且这个方法同样适用于比较精确地笔算平方根

原理:完全平方公式 A=(√A)^2=(x+m)^2=x^2+2mx+m^2

其中A是被开方数,x是我们的估测值,m是误差。

当m很小的时候,可以认为m^2→0,此时m=(A-x^2)/2x

故更加精确的数值x'=x+m=x+(A-x^2)/2x=(A/x+x)/2 即为该方法的原理。

可以证明,在保留一定位数小数的情况下,这种方法获得的数字的稳定值永远大于或等于准确值,但是仍然是相当精确的值。

利用上述公式多次循环可以得到相当准确的值。

这里用Flash AS3写了一个小程序 可以用来模拟该过程

function cu(A:Number,m:String,uu:Number):void{

trace1("R  : "+Math.sqrt(A));

var f:Array=m.split("/");

var f1:Number=Number(f[0]); 

var f2:Number=Number(f[1]);

var t1:Number,t2:Number;

for(var i:Number=1;i<=uu;i++){

trace1((i<10?"0"+i:i)+": "+f1/f2);

trace1(" ("+f1+"/"+f2+")");

t2=2*f1*f2;

t1=f1*f1+f2*f2*A;

f1=t1;

f2=t2;

}


}

function trace1(s:String):void{

put.appendText(s);

put.appendText("\n");

}

cal.addEventListener("click",function(i:*):void{

put.text="";

cu(Number(q0.text),q1.text,int(q2.text));

});

元件摆放如下
程序运行的结果如下(初始值取3/2)


从而可以知道665857/470832已经是较为精确的值了(12位有效数字)。

以下是一些已经获得的结果(就是使用这个程序获得的)

√2 低精度近似665857/470832(12位有效数字)
 高精度近似768398401/543339720 (至少17位有效数字)
≈1.4142135623730951

√3低精度近似3650401/2107560(12位有效数字)
 高精度近似708158977/408855776  (至少17位有效数字)
≈1.7320508075688772

√5低精度近似4870847/2178309(12位有效数字)  51841/23184 (10位有效数字)
 高精度近似5374978561/2403763488  (至少15位有效数字)
≈2.23606797749979

√7低精度近似62921681/23782160(12位有效数字)
 高精度近似2081028097/786554688  (至少17位有效数字)
≈2.6457513110645907

√11低精度近似6874607/2072772(11位有效数字) 79201/23880(10位有效数字)
 高精度近似12545596801/3782639760 (至少14位有效数字)
≈3.3166247903554

_______________________________splitting_______________________________

以下谈一谈关于这个思路在笔算根号中的运用

1.初始值建议取比较逼近的值,但以简单为宜,如√2取3/2,√3取5/3。

2.保留分数直到第3次计算,第3次计算取6位小数(如上图04);精度不高的场合只需计算2次取2位小数(如上图03)。


大概就是这些,欢迎交流想法

阿涵

牛顿迭代法求整数的平方根

// 使用牛顿迭代法求整数N的平方根。

public class NewtonMethod {


    public static double sqrt(int n) {

        double x0 = n;

        while (x0 * x0 - n > 0.001) {

            x0 = (x0 + n / x0) / 2;...


// 使用牛顿迭代法求整数N的平方根。

public class NewtonMethod {


    public static double sqrt(int n) {

        double x0 = n;

        while (x0 * x0 - n > 0.001) {

            x0 = (x0 + n / x0) / 2;

        }

        return x0;

    }


    public static void main(String[] args){

        System.out.println(sqrt(4));

        System.out.println(sqrt(2));

    }

}


Viyu

典型静态方法的实现

1,计算整数的绝对值:

public static int abs(int x) {
    if(x < 0)    return -x;

    else    return x;

}

//绝对值的规则很简单:不小于零就是本身,反之就返回-x;

2, 计算浮点数的绝对值:

public static double abs(double x) {
    if( x < 0.0)    return...

1,计算整数的绝对值:

public static int abs(int x) {
    if(x < 0)    return -x;

    else    return x;

}

//绝对值的规则很简单:不小于零就是本身,反之就返回-x;

2, 计算浮点数的绝对值:

public static double abs(double x) {
    if( x < 0.0)    return -x;

    else    return x;

}

3, 判断一个数是否是素数:

public static boolean isPrime(int n) {
    if(n < 2)    return false;                        //大于1的自然数,1不是素数

    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {              //i * i <=n

        if(n % i == 0)    return false;

    return true;

}

//素数,就是质数。指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数。

判断的关键点:

a,  小于2,不是;

b,从2到n遍历,遍历到一个i * i > n之前的数就提前结束遍历,因为2到满足i * i <= n的i之间的这些数如果能整除n,那么i之后到n的这些数也能;以满足i * i <=n为分界线,1...n之间的数对于整除n来说,是对称的;

判断n能否被i整除:n % i 的值是否为0;

4, 计算平方根(牛顿迭代法):

public static double sqrt(double c) {

    if(c < 0) return Double.NaN;

    double err =1e-15;                 //1乘以10的负15次方

    double t = c;

    while(Math.abs(t - c / t) > err *t)

        t = (c/t + t) / 2.0;

    return t;

}

//不懂, TODO

5, 计算直角三角形的斜边:

public static double hypotenuse(double a, double b) {

    return Math.sqrt(a * a + b * b);

}

6, 计算调和级数:

public static double H(int n) {

    double sum = 0.0;

    for(int i = 1; i <=n; i++) 

        sum += 1.0 / i;

    return sum;

}

//形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限(或部分和为无穷大)。






Rainn Keh | 葛锌雨

孤独的根号三

孤独的根号三 一首诗 出自寻堡奇遇2里面Kumar Patel向其女友表白的诗句。   


孤独的根号3

后被中国电视剧【爱情公寓】第一季19,20集里修改引用 是展博向宛瑜表白的诗歌 我害怕, 我会永远是那孤独的根号三。 三本身是一个多么美妙的数字, 我的这个三, 为何躲在那难看的根号下。 我多么希望自己是一个九, 因为九只需要一点点小小的运算 , 便可摆脱这残酷的厄运。 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休无止的 1.7321………… 我不愿我的人生如此可悲。 直到那一天, 我看到了, 另一个根号三。 如此美丽无瑕, 翩翩舞动而来, 我们彼此相乘, 得到那梦...

孤独的根号三 一首诗 出自寻堡奇遇2里面Kumar Patel向其女友表白的诗句。   

孤独的根号3

后被中国电视剧【爱情公寓】第一季19,20集里修改引用 是展博向宛瑜表白的诗歌 我害怕, 我会永远是那孤独的根号三。 三本身是一个多么美妙的数字, 我的这个三, 为何躲在那难看的根号下。 我多么希望自己是一个九, 因为九只需要一点点小小的运算 , 便可摆脱这残酷的厄运。 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休无止的 1.7321………… 我不愿我的人生如此可悲。 直到那一天, 我看到了, 另一个根号三。 如此美丽无瑕, 翩翩舞动而来, 我们彼此相乘, 得到那梦寐以求的数字, 像整数一样圆满。 我们砸碎命运的枷锁, 轻轻舞动爱情的魔杖。 我们的平方根,已经解开。 我的爱,重获新生。 我无法保证能给你童话般的世界, 也无法保证自己能在一夜之间长大。 但是我保证, 你可以像公主一样永远生活在自由,幸福之中。 编辑本段寻堡奇遇2完全版本 此版本为寻堡奇遇2原诗 《孤独的根号三》 我害怕 我会永远是那孤独的根号三 三本身是一个多么美妙的数字 我的这个三 为何躲在那难看的根号下 我多么希望自己是一个九 因为九只需要一点点小小的运算 便可摆脱这残酷的厄运 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休止的 1.7321 我不愿我的人生如此可悲 直到那一天 我看到了 另一个根号三 如此美丽无瑕 正轻柔的跳着华尔兹翩然而至 我们彼此相乘 得到那梦寐以求的数字 像整数一样圆满 我们砸碎命运的枷锁 轻轻舞动爱情的魔杖 我们的平方根 已经解开 我的爱 重获新生 我无法保证能给你童话般的世界 也无法保证自己能在一夜之间长大 但是我发誓我会永远爱着你 你可以像公主一样永远生活在 自由 幸福之中 。。。。 原创诗人:大卫・范伯格 假如可以,把人生比作算术 我想我会,如3般孤独 3这个数字,如此纯良美好 可我的3呵,却顶着个根号 隅居在这个绝望的窠臼―― 我多希望自己能是个9! 因为这层艰险,9不会害怕 只需小小乘除,就全部消化 可阳光永远照不到这儿 因为我是1.7321…… 从我出生的那一刻起 就有个名字叫做无理…… 可看!是什么在我眼前闪? 莫不是另一个?―― 轻盈的脚步,与你如此相称 我们在一起,于是彼此相见…… 就这样成为一个整数 不用再对着“有理”羡慕 仿佛有魔棒轻轻挥过 我们,从这尘世的枷锁解脱 ――终于粉碎这头顶的拘禁 而你我的心,从此更加靠近! 孤独的根号三的英文 I fear that I will always be a lonely number like root three A three is all that's good and right Why must my three keep out of sight Beneath a vicious square-root sign? I wish instead I were a nine For nine could thwart this evil trick With just some quick arithmetic I know I'll never see the sun As one point seven three two one Such is my reality A sad irrationality When, hark, just what is this I see? Another square root of a three Has quietly come waltzing by Together now we multiply To form a number we prefer Rejoicing as an integer We break free from our mortal bonds And with a wave of magic wands Our square-root signs become unglued And love for me has been renewed I can't promise you the kind of lifestyle that fairy tale like And I can't promise you that I'm gonna mature overnight But what I canpromise you is that I will always love you And I will never try and make you into something that you can not

Rainn Keh

孤独的根号三

孤独的根号三 一首诗 出自寻堡奇遇2里面Kumar Patel向其女友表白的诗句。   


孤独的根号3

后被中国电视剧【爱情公寓】第一季19,20集里修改引用 是展博向宛瑜表白的诗歌 我害怕, 我会永远是那孤独的根号三。 三本身是一个多么美妙的数字, 我的这个三, 为何躲在那难看的根号下。 我多么希望自己是一个九, 因为九只需要一点点小小的运算 , 便可摆脱这残酷的厄运。 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休无止的 1.7321………… 我不愿我的人生如此可悲。 直到那一天, 我看到了, 另一个根号三。 如此美丽无瑕, 翩翩舞动而来, 我们彼此相乘, 得到那梦寐以求的数字,...

孤独的根号三 一首诗 出自寻堡奇遇2里面Kumar Patel向其女友表白的诗句。  

孤独的根号3

后被中国电视剧【爱情公寓】第一季19,20集里修改引用 是展博向宛瑜表白的诗歌 我害怕, 我会永远是那孤独的根号三。 三本身是一个多么美妙的数字, 我的这个三, 为何躲在那难看的根号下。 我多么希望自己是一个九, 因为九只需要一点点小小的运算 , 便可摆脱这残酷的厄运。 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休无止的 1.7321………… 我不愿我的人生如此可悲。 直到那一天, 我看到了, 另一个根号三。 如此美丽无瑕, 翩翩舞动而来, 我们彼此相乘, 得到那梦寐以求的数字, 像整数一样圆满。 我们砸碎命运的枷锁, 轻轻舞动爱情的魔杖。 我们的平方根,已经解开。 我的爱,重获新生。 我无法保证能给你童话般的世界, 也无法保证自己能在一夜之间长大。 但是我保证, 你可以像公主一样永远生活在自由,幸福之中。编辑本段寻堡奇遇2完全版本 此版本为寻堡奇遇2原诗 《孤独的根号三》 我害怕 我会永远是那孤独的根号三 三本身是一个多么美妙的数字 我的这个三 为何躲在那难看的根号下 我多么希望自己是一个九 因为九只需要一点点小小的运算 便可摆脱这残酷的厄运 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休止的 1.7321 我不愿我的人生如此可悲 直到那一天 我看到了 另一个根号三 如此美丽无瑕 正轻柔的跳着华尔兹翩然而至 我们彼此相乘 得到那梦寐以求的数字 像整数一样圆满 我们砸碎命运的枷锁 轻轻舞动爱情的魔杖 我们的平方根 已经解开 我的爱 重获新生 我无法保证能给你童话般的世界 也无法保证自己能在一夜之间长大 但是我发誓我会永远爱着你 你可以像公主一样永远生活在 自由 幸福之中 。。。。 原创诗人:大卫・范伯格 假如可以,把人生比作算术 我想我会,如3般孤独 3这个数字,如此纯良美好 可我的3呵,却顶着个根号 隅居在这个绝望的窠臼―― 我多希望自己能是个9! 因为这层艰险,9不会害怕 只需小小乘除,就全部消化 可阳光永远照不到这儿 因为我是1.7321…… 从我出生的那一刻起 就有个名字叫做无理…… 可看!是什么在我眼前闪? 莫不是另一个?―― 轻盈的脚步,与你如此相称 我们在一起,于是彼此相见…… 就这样成为一个整数 不用再对着“有理”羡慕 仿佛有魔棒轻轻挥过 我们,从这尘世的枷锁解脱 ――终于粉碎这头顶的拘禁 而你我的心,从此更加靠近! 孤独的根号三的英文 I fear that I will always be a lonely number like root three A three is all that's good and right Why must my three keep out of sight Beneath a vicious square-root sign? I wish instead I were a nine For nine could thwart this evil trick With just some quick arithmetic I know I'll never see the sun As one point seven three two one Such is my reality A sad irrationality When, hark, just what is this I see? Another square root of a three Has quietly come waltzing by Together now we multiply To form a number we prefer Rejoicing as an integer We break free from our mortal bonds And with a wave of magic wands Our square-root signs become unglued And love for me has been renewed I can't promise you the kind of lifestyle that fairy tale like And I can't promise you that I'm gonna mature overnight But what I canpromise you is that I will always love you And I will never try and make you into something that you can not

Rainn Keh

孤独的根号三

孤独的根号三 一首诗 出自寻堡奇遇2里面Kumar Patel向其女友表白的诗句。   


孤独的根号3

后被中国电视剧【爱情公寓】第一季19,20集里修改引用 是展博向宛瑜表白的诗歌 我害怕, 我会永远是那孤独的根号三。 三本身是一个多么美妙的数字, 我的这个三, 为何躲在那难看的根号下。 我多么希望自己是一个九, 因为九只需要一点点小小的运算 , 便可摆脱这残酷的厄运。 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休无止的 1.7321………… 我不愿我的人生如此可悲。 直到那一天, 我看到了, 另一个根号三。 如此美丽无瑕, 翩翩舞动而来, 我们彼此相乘, 得到那梦寐以求的数字,...

孤独的根号三 一首诗 出自寻堡奇遇2里面Kumar Patel向其女友表白的诗句。  

孤独的根号3

后被中国电视剧【爱情公寓】第一季19,20集里修改引用 是展博向宛瑜表白的诗歌 我害怕, 我会永远是那孤独的根号三。 三本身是一个多么美妙的数字, 我的这个三, 为何躲在那难看的根号下。 我多么希望自己是一个九, 因为九只需要一点点小小的运算 , 便可摆脱这残酷的厄运。 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休无止的 1.7321………… 我不愿我的人生如此可悲。 直到那一天, 我看到了, 另一个根号三。 如此美丽无瑕, 翩翩舞动而来, 我们彼此相乘, 得到那梦寐以求的数字, 像整数一样圆满。 我们砸碎命运的枷锁, 轻轻舞动爱情的魔杖。 我们的平方根,已经解开。 我的爱,重获新生。 我无法保证能给你童话般的世界, 也无法保证自己能在一夜之间长大。 但是我保证, 你可以像公主一样永远生活在自由,幸福之中。编辑本段寻堡奇遇2完全版本 此版本为寻堡奇遇2原诗 《孤独的根号三》 我害怕 我会永远是那孤独的根号三 三本身是一个多么美妙的数字 我的这个三 为何躲在那难看的根号下 我多么希望自己是一个九 因为九只需要一点点小小的运算 便可摆脱这残酷的厄运 我知道自己很难再看到我的太阳 就像这无休止的 1.7321 我不愿我的人生如此可悲 直到那一天 我看到了 另一个根号三 如此美丽无瑕 正轻柔的跳着华尔兹翩然而至 我们彼此相乘 得到那梦寐以求的数字 像整数一样圆满 我们砸碎命运的枷锁 轻轻舞动爱情的魔杖 我们的平方根 已经解开 我的爱 重获新生 我无法保证能给你童话般的世界 也无法保证自己能在一夜之间长大 但是我发誓我会永远爱着你 你可以像公主一样永远生活在 自由 幸福之中 。。。。 原创诗人:大卫・范伯格 假如可以,把人生比作算术 我想我会,如3般孤独 3这个数字,如此纯良美好 可我的3呵,却顶着个根号 隅居在这个绝望的窠臼―― 我多希望自己能是个9! 因为这层艰险,9不会害怕 只需小小乘除,就全部消化 可阳光永远照不到这儿 因为我是1.7321…… 从我出生的那一刻起 就有个名字叫做无理…… 可看!是什么在我眼前闪? 莫不是另一个?―― 轻盈的脚步,与你如此相称 我们在一起,于是彼此相见…… 就这样成为一个整数 不用再对着“有理”羡慕 仿佛有魔棒轻轻挥过 我们,从这尘世的枷锁解脱 ――终于粉碎这头顶的拘禁 而你我的心,从此更加靠近! 孤独的根号三的英文 I fear that I will always be a lonely number like root three A three is all that's good and right Why must my three keep out of sight Beneath a vicious square-root sign? I wish instead I were a nine For nine could thwart this evil trick With just some quick arithmetic I know I'll never see the sun As one point seven three two one Such is my reality A sad irrationality When, hark, just what is this I see? Another square root of a three Has quietly come waltzing by Together now we multiply To form a number we prefer Rejoicing as an integer We break free from our mortal bonds And with a wave of magic wands Our square-root signs become unglued And love for me has been renewed I can't promise you the kind of lifestyle that fairy tale like And I can't promise you that I'm gonna mature overnight But what I canpromise you is that I will always love you And I will never try and make you into something that you can not

LOFTER

让兴趣,更有趣

简单随性的记录
丰富多彩的内容
让生活更加充实

下载移动端
关注最新消息