[电子书+打印版]华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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试读（部分内容）

第1章 实数集与函数

1.1 复习笔记

一、实数

1．相关定义

（1）给定两个非负实数

其中a0，b0为非负整数，ak，bk（k＝1，2…）为整数，0≤ak≤9，0≤bk≤9．若有

则称x与y相等，记为x＝y；若a0＞b0或存在非负整数l，使得

则称x大于y或y小于x．分别记为x＞y或y＜x．

对于负实数x，y，若按上述规定分别有－x＝－y与－x＞－y，则分别称x＝y与x＜y（或y＞x）．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．

（2）设为非负实数，称有理数为实数x的n位不足近似，而有理数称为x的n位过剩近似，n＝0，1，2，…．

对于负实数

其n位不足近似与过剩近似分别规定为

2．重要定理

设

与

为两个实数，则x＞y的等价条件是：存在非负整数n，使得，其中xn表示x的n位不足近似，表示y的n位过剩近似．

3．实数性质

（1）实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数．

（2）实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个关系之一：a＜b，a＝b，a＞b．

（3）实数的大小关系具有传递性，即若a＞b，b＞c，则有a＞c．

（4）实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若b＞a＞0，则存在正整数n，使得na＞b．

（5）实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数．且既有有理数，也有无理数．

（6）如果在一直线（通常画成水平直线）上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向（通常把指向右方的方向规定为正向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上惟一的一点；反之，数轴上的每一点都惟一地代表一个实数．于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系．

4．实数绝对值的性质

（1）|a|＝|－a|≥0；当且仅当a＝0时有|a|＝0．

（2）－|a|≤a≤|a|．

（3）|a|＜h⇔－h＜a＜h；|a|≤h⇔－h≤a≤h（h＞0）．

（4）对于任何a，b∈R有如下的三角形不等式：

（5）

（6）

（7）

二、数集·确界原理

1．区间与邻域

（1）区间：设a,b∈R，且a＜b．称数集﹛x|a＜x＜b﹜为开区间，记作（a，b）；数集{x|a≤x≤b﹜称为闭区间，记作[a，b]；数集﹛x|a≤x＜b}和{x|a＜x≤b﹜都为半开半闭区间，分别记作[a，b）和（a，b]，以上这几类区间统称为有限区间．

满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a．＋∞）．符号∞读作“无穷大”，＋∞读作“正无穷大”．记

其中﹣∞读作“负无穷大”．以上这几类数集都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为区间．

（2）邻域：设a∈R，δ＞0，满足绝对值不等式|x－a|＜δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），或简单地写作U（a）．即有

点a的空心δ邻域定义为

（3）常用几种邻域

①点a的δ右邻域U＋（a；δ）＝[a,a＋δ），简记为U＋（a）；点a的δ左邻域U—（a；δ）＝（a－δ,a]，简记为U—（a）．

②U—（a）与U＋（a）去除点a后，分别为点a的空心δ左、右邻域，简记为U0—（a）与U0＋（a）．

③∞邻域U（∞）＝﹛x︱|x|＞M}，其中M为充分大的正数（下同）；＋∞邻域U（＋∞）＝﹛x|x＞M﹜；－∞邻域U（－∞）＝{x|x＜M﹜．

2．有界集·确界原理

（1）相关概念

①设S是R中的一个数集．若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的个上界（下界）．

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．

②设S是R中的一个数集．若数η满足：

a．对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；

b．对任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即又是S的最小上界．

则称数η为数集S的上确界，记作

③设S是R中的一个数集．若数ξ满足：

a．对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；

b．对任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界．则称数ξ为数集S的下确界，记作

④上确界与下确界统称为确界．

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