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现实生活中的物理

        游戏来源于生活常识，简单的物理定律是不能违背的。例如固体和固体相碰撞，两个固体不会穿过对方，比如常见的育碧游戏的穿模（吐槽一下阿育的程序员或是引擎），这里就是我之前写过的碰撞检测。没有初速度的物体在落下的时会做自由落体运动。相碰撞的两个物体会改变对方的速度等等。

        不单单是这些简单的物理现象，同时一些物理体的模拟，也要用到基础的物理系统。例如布料的模拟，在3d游戏中，模拟布料的运动并不难么容易，直到解决方案，“弹簧-质点”模型的出现。

sgf-py中的物理系统

        sgf-py将物理系统分为一下几个要素：

        1. 力：

        力是物理系统的基础，根据牛顿第一定律：一切物体在没有受到力或合力为零的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。可知，力是改变物体状态的条件。sgf-py框架中对力的定义是一个2维向量。sgf-py中的力学系统采用牛顿力学（经典力学），即物体足够大，不会产生量子效应（quantum effect），物体的速度足够小，不会产生相对论效应（relativistic effect）。

        2. 几何体（碰撞体，刚体和弹性体）：

        将各种形状的object抽象成简单的几何体，来处理他们在施加力（apply force）之后的状态，例如，速度，位置。

        3. 单位：

        单位，往往是最容易忽略的部分，一般来说，会使用MKS单位制。MKS就是距离以米（meter），质量以千克（kilogram），时间以秒（second）来度量。这里注意的是对于帧率的控制，30帧就意味着，每一帧的时间是1/30秒，60帧每一帧的时间就是1/60秒。尽量保持稳定的帧率，可以使物理模拟尽可能的真实。

        4. 碰撞探针（collided probe)

        在发生碰撞后进行力的数学求解，一般将物体形变忽略。

        这里使用动量守恒公式（希望以后能上传svg图)：

         5. 物理场景

        物理场景不同于普通的渲染场景，物理场景是专门处理物理运动的场景，所以的物体，物理状态的变化，在物理场景中求解。

线性动力学：

        1. 力的求解

         力的叠加原理：在多个力施加到同一个物体上时，对这个物体运动的净效应为这多个力的矢量和：

        牛顿第二定律，力与加速度和质量成正比，加速度也可以写成位移对时间的2阶导（tips：点和撇均可以表示导数，一般写法，点导表示对时间，撇导表示对空间）：

        同时可以得出线性动量：

        但并非所有的物理现象中，质量是恒定的。这时就不能用这种方式,需要用到下面的方程：

        当m为常数时，这个式子就是熟悉的F=ma。

        2. 运动方程求解

        力最直观的表现 就是运动，运动就是位置的改变。即给出合力F或上一时刻的位置及速度，求出v(t)及x(t)。这其实等价于常微分方程的求解，给定a(t)求v(t)，或者是给定x(t)求v(t)。

        把力看作是一个函数关系：

        进一步，可以写成对按位置矢量的第一，第二导数的表示函数：

        从上式可以看出：

        这显然是一个常微分方程，作为开发者，希望对这个方程求解，得到v(t)以及x(t)。

        我们都习惯了求解析解，即找到一个闭合式函数，描述所有可能的时间t的刚体位置。但遗憾的是，我们一般所希望的往往没有那么容易实现。在及其罕见的情况下，运动的微分方程才有解析解，例如自由落体运动，a=g=-9.8m/s^2，这里特指加速度不变的情况，最后可以得出我们熟悉的匀加速运动公式。

        y0是该物体的初始位置。但是，在游戏中，力是变化的，加速度也在时刻发生变化，物体的运动也不一定是好求解的匀加速。可以说在互动的印游戏中，不可能求得一个简单的闭合式，随时间变化的函数来表示位置。

        鉴于以上的情况，一般会采用数值积分（numerical integration）的方法，即利用上一帧的信息求下一帧的信息。即△t时间内的变化量。最简单，的就是显式欧拉法（explicit Euler method）sgf-py在刚刚构建简单的物理场景时使用的也是这种方法，即熟悉当前速度得出次帧的刚体位置，也就是求解以下这个微分方程：

        使用显式欧拉法，可以近似的把速度乘以△t，加上之前的位置：

        从力开始考虑就是：

        根据这样，就可以求得位置。但这方法是不太准确的，虽然它看起来简单，和容易理解，但事实的真相往往没有这么简单。

        错误的原因就是，实际上在得出这个结论的原因就是假设在△t时间内，速度没有变化。才可以使用v*△t，即使用了如下近似等式，但事实上并不这样的。

        按照微积分的思想，当△t无限趋近于0时，△t=dt，而显然△t没有也无法趋近于0，同时，dx和△x永远不能相等，因为△x与dx相差△x高阶的无穷小。显式欧拉是利用t1时刻函数x(t1)的斜率线性外插出x(t2)的估值。

        那么误差是多少？误差是否在可接受的范围内呢？可以用泰勒级数展开式来诠释。刚才用到的方法中的速度为：

精确解的泰勒级数展开为：

很容易就能看出来，相差△t二阶的无穷小，这显然是不能接受的。

        所以sgf-py更换了另一种方法：韦尔莱积分（Verlet integration），这也是大多数游戏中动力学系统的模拟求解方法。

        韦尔莱积分分为速度韦尔莱与正常韦尔莱，正常韦尔莱使用加速度直接确定位移，不经过速度。而速度韦尔莱就是确定速度。以下是正常韦尔莱的推导，使用了泰勒级数展开式，向前的时间和向后的时间：

        将两式相加就可以得到：

        这就是正常韦尔莱，它不但稳定，误差小（△t四阶的无穷小），求值快还相对简单。

        速度韦尔莱则分为四个步骤求解：

代码：

class body:
    def __init__(self, m, pos):
        self.vel = vec2()
        self.pos = pos
        self.mass = m
        self.acc = vec2()
        self.new_acc = vec2() 

    def applyForce(self, force):
        self.new_acc += force.dev(self.mass) 

    def update(self, dt):
        new_pos = self.pos + self.vel.mul(dt) + self.acc.mul(dt ** 2 * 0.5)
        _vel = self.vel + self.acc.mul(0.5 * dt)
        new_acc = self.new_acc
        self.new_acc = self.new_acc.mul(0)
        new_vel = _vel + new_acc.mul(dt * 0.5)
        self.pos = new_pos
        self.vel = new_vel
        self.acc = new_acc

        在做自由落体的物体施加一个水平恒力之后的情形，白色线的长度和方向代表物体加速度的大小和方向

        本来准备一口气把物理系统弄完，结果真的写起来细节多的写不完。剩下的就留在以后写吧。