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1 需求背景

例：对于随机过程 X(t)=A * cos⁡(w0 * t+θ)，θ是在[0,2π]上均匀分布的随机变量，说明X(t)的宽平稳性。

在这道题的求解过程中，需要通过计算说明X(t)的自相关函数Rx(t,t+τ)是只关于τ的函数Rx(τ)，在这一步中需要用到积化和差公式cos(a) * cos(b)=1/2 * [cos(a+b)+cos(a-b)]。但是，积化和差、和差化积一共有8个，而且容易混淆，我一直没能记住。因此，我试图用一种一劳永逸的方法将其理解并记住。

2 思路来源

在调制信号时，我们通常将一个低频基带信号通过乘法器加载到高频的载波信号上，

即 x(t) = A * cos⁡(w0 * t) * cos⁡(wc * t)，w0<wc

在频域上表现为 

X(w) = Aπ/2 * [σ(w-(wc+w0))+σ(w-(wc-w0))+σ(w-(-wc+w0))+σ(w-(-wc-w0))]

频域变换如图所示

图一为A * cos⁡(w0 * t) 的频域

图二为cos⁡(wc * t)的频域

图三为x(t) = A * cos⁡(w0 * t) * cos⁡(wc * t)频域，

即A * cos⁡(w0 * t)的频域与cos⁡(wc * t)的频域相卷后的频域

3 结论

在2的基础上，

X(w) = Aπ/2 * [σ(w-(wc+w0))+σ(w-(wc-w0))+σ(w-(-wc+w0))+σ(w-(-wc-w0))]

        = A/2 * π { [ σ( w-(wc+w0) )+σ( w-(-wc-w0) ) ]

                        +[ σ( w-(wc-w0) )+σ( w-(-wc+w0) ) ] }

逆变换得

x(t) = A/2 * [cos( (wc+w0) * t )+cos( (wc+w0) * t )]

即 x(t)=A * cos⁡(w0 * t) * cos⁡(wc * t) = A/2 * [cos( (wc+w0) * t )+cos( (wc+w0) * t )]

当A = 1，a = w0 * t，b = wc * t时，

即 cos(a) * cos(b)=1/2 * [cos(a+b)+cos(a-b)]

4 后记

三角函数相乘的本质就是信号频谱的搬移，我在调制信号的启发下，明白了积化和差在频域的意义，这样就不需要再暴力记忆积化和差公式了。

同理，也可以用频域方法推出积化和差、和差化积的剩下7个公式。